"LA PROBABILIDAD Y ESTADISTICA” en la Electrónica

Algunos apuntes sobre “LA PROBABILIDAD Y ESTADISTICA” en la Electrónica.

Ing. Michael Caserta E.
Universidad Javeriana - Cali

Definitivamente es de gran importancia en todas las investigaciones, estudios y análisis científicos, una observación de los patrones o factores que conllevan a determinar una teoría o hipótesis.

La carrera de ingeniería electrónica no es ajena a estos procedimientos. Es imposible descartar comportamientos probabilísticos en cualquier diseño experimental especialmente cuando de circuitos se trata. La corriente eléctrica está suficientemente estudiada como para determinar su comportamiento bajo ciertas condiciones impuestas con la creación de elementos de control. Pero, que probabilidad de falla tienen estos elementos?

No es solo cuestión de un error físico en los diseños sino muchas variables externas participan activamente del proceso.

Es común realizar un muestreo de datos y a partir de ellos conseguir una función relativamente parecida para describir un futuro comportamiento. Pero que tan cerca se esta?, es cuestión de la inferencia estadística; y usualmente no se aceptan nuevos hechos a menos que se pueda verificar de alguna manera su autenticidad. Es aquí donde puede darse la variabilidad en datos tomados, y concretamente tales como corriente, voltajes, potencia, etc.

Para realizar funciones de control, el manejo de datos continuos o discretos es fundamental. Tal es el caso que se han creado dos ramas de esta teoría, el estudio del control continuo y el discreto, donde implícitamente la probabilidad es pilar fundamental para entender las situaciones.

Toda esta teoría y práctica es resaltada eficazmente a través de gráficas de comportamiento, desde el comienzo con los modelados matemáticos de plantas[1], hasta las gráficas de salida de control.

Por ejemplo, como debe comportarse mi diseño ante una entrada fuera de rango? Esto debe ser previsto y el diseño debe tener autonomía ante estos datos gracias a un análisis de variabilidad y así poder determinar inteligentemente una salida, (esto puede apreciarse en diseños con lógica difusa, sistemas expertos en inteligencia artificial, etc.).

Desde un punto de vista de la ingeniería electrónica, la probabilidad y estadística son herramientas necesarias para realizar un buen diseño y lograr una armonía casi musical, dentro del entorno de modelos apropiados para la humanidad.

Variables Aleatorias – Distribuciones de Probabilidad

La mayor parte de las variables que intervienen en los problemas de ingeniería son exactamente eso, variables.

Es común en algunas ingenierías como la civil tomar las fuerzas que actúan sobre un edificio, y estas son de carácter aleatorio, “las hacemos intervenir tomando una envolvente de las cargas de tal modo que la estructura superior al esfuerzo de falla sea muy baja. Lo mismo se procura para el caso de fuerzas accidentales, tales como el viento y sismo. Otro problema que se presenta en la práctica es el caso de definir el diámetro de una tubería que debe mover un cierto gasto de agua, una variable aleatoria importante es la rugosidad de la tubería. En éste caso se procurará diseñar con un coeficiente de rugosidad alto para que el gasto necesario tenga grandes probabilidades de no bajar del mínimo indispensable.” [2]

En la ingeniería electrónica, debemos realizar una similitud con el grosor de los cables transportadores de corriente, ya sea de altos o bajos rangos de corriente, lo cual es determinado por el numero de electrones que recorren el medio físico. Si el diámetro del cable es demasiado pequeño para cierto valor de corriente, se presenta un calentamiento debido al roce de los electrones unos contra otros, si el cable es demasiado grueso, se presentan perdidas. Para cada valor de grosor se tiene una cantidad optima de corriente.
Si por ejemplo yo quiero garantizar que el costo real no será mayor que el presupuestado en un proyecto cualquiera, dependiendo del grado de certeza de los volúmenes del proyecto y los costos de los insumos, deberé tomar precauciones aumentando el costo estimado en un cierto porcentaje.
Vemos que con éstos ejemplos, el ingeniero tiende a cubrirse de los imprevistos, mediante reglas, (en especial las reglas de comportamiento eléctrico) que en general han funcionado en el pasado, pero que no siempre son adecuadas de tal modo que siempre se debe estudiar con cuidado el caso particular que debe ser resuelto tomando las precauciones en función del costo de una falla, ya sea en dinero o en consecuencias sociales.
Como ejemplo podemos ver:
Sea Y la Variable Aleatoria que representa el número de caras que aparecen luego de lanzar 2 monedas. Luego la variable Y puede tomar valores 0, 1 o 2, y sus valores probabílísticos son:
P(Y=0) = P{(s,s)} = 1/4
P(Y=1) = P{(s,c),(c,s)} = 2/4
P(Y=2) = P{(c,c)} = 1/4
Aquí como a cada variable se le puede asignar un valor real, es llamada una variable aleatoria discreta.
Es normal en electrónica encontrarse frente a elementos de circuitos no lineales y variables con el tiempo, circuitos de polarización y el análisis de pequeña señal. El uso generalizado de las computadoras obliga a enfatizar la formulación sistemática de los algoritmos de solución de un problema el lugar de aplicar artilugios matemáticos o soluciones gráficas aproximadas. También las computadoras han cambiado el significado de la palabra "solución" ya que un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales puede tener rápidamente una solución numérica en una computadora, la ausencia de una expresión analítica no es una dificultad. La observación experimental no debe descuidarse; aún sin conocimientos profundos de las técnicas de medición, deben realizarse verificaciones experimentales de redes sencillas, ya que la observación de parámetros eléctricos (algunos variables aleatorias) mediante instrumentos da confianza en la interpretación del resultado de un problema. Es necesario seguir manteniendo un contacto permanente entre la teoría, la observación experimental y la simulación por computadora.
El señor Laplace ya había colocado en uno de sus criterios partiendo del hecho que no se conocen las probabilidades de ocurrencia de cada uno de los estados de la naturaleza, donde propuso que las probabilidades eran las mismas para cada estado.
Como ahora ya se cuenta con información de la probabilidad de la ocurrencia, se calcula la esperanza matemática asociada a cada alternativa y por último se selecciona aquella alternativa que corresponda al máximo valor monetario esperado.
Los ingenieros siempre están al acecho de buscar soluciones para tantos y complicados análisis eléctricos, estructurales y aún mecánicos. Una base necesaria para tomar estas decisiones adecuadas es realizar previamente una simulación, donde se visualice un comportamiento definido de las variables (variables o continuas) y lograr un esquema controlado. Un ejemplo practico de dicho proceso se realiza cuando un sistema experto, sistema aplicativo de la inteligencia artificial, analiza un conjunto de entradas llamadas variables y toma una decisión final. Para esta toma de decisiones, se crean algoritmos que analizan probabilidades de ocurrencia y cual sería un resultado temporal para aquella respuesta, si se desplaza demasiado de ciertas tablas preestablecidas, entonces se recalcula la variable y así sucesivamente hasta lograr un parámetro controlado.
Es claro que la varianza y la desviación estándar se debe comparar entre distribuciones de un mismo tipo, en nuestro lenguaje, son variables de entrada de diferentes fuentes pero utilizando los mismos protocolos de señal (por ejemplo podrían ser voltajes, corrientes, etc.).
Volviendo al tema de sistemas expertos, estos resuelven un problema en tres niveles diferentes, con la entrada de datos, base de conocimiento y control. Con la gran capacidad de los sistemas computacionales actuales, estos sistemas han logrado interpretar estadísticas, para así formular reglas.
Con esto nos damos cuenta que implementaciones estadísticas y probabilisticas, son parte esencial de sistemas electrónicos tan delicados como los que involucran inteligencia artificial y ramas aplicativas derivadas de este grupo.

Distribuciones de Probabilidad Discreta.

Para entrar a este tema de distribuciones de probabilidad, debemos entender la experimentación como pilar fundamental del proceso. Las etapas de este proceso conllevan a resumir experiencias, y a partir de aquí se deducen hipótesis que ayudarán a entender comportamientos.

En la electrónica se presentan parámetros de diseño, donde el resultado se puede presentar de forma binomial. Son muchos los casos donde se espera una señal de discreta, es decir por eso se llama electrónica digital, sus datos son definidos como un 1 o un 0 lógico. Si por ejemplo experimentamos con un brazo robótico, y su meta es ubicar algún objeto en un lugar, se puede llevar un control de cuantas veces lo logró o no, y de aquí realizar una distribución. No se debe olvidar que estos resultados van acompañados de una respuesta eléctrica dada, medible y que en el fondo siempre es continua, aunque a veces esto no sea muy visible.

Es posible pasar a distribuciones multinomiales considerando un estado de la lógica digital como es el estado de alta impedancia, sencillamente es un estado por fuera de los rangos preestablecidos.

Una vez que se tengan estas distribuciones, es posible analizar respuestas del sistema y determinar si se está realizando lo adecuado. Para tecnologías militares o aerospaciales es determinante realizar pruebas detalladas de probabilidades de falla o no. Gracias a estos resultados tenemos la oportunidad de crear y diseñar sistemas seguros y predecibles.


Estimaciones

“La inferencia estadística es primordialmente de naturaleza inductiva y llega a generalizar respecto de las características de una población valiéndose de observaciones empíricas de la muestra.”

Dentro del tratamiento de señales discretas y aleatorias, existe una parte la cual se puede ensamblar con este tema analizado como la estimación. A veces se puede calcular estimaciones de la media o de la autocorrelación. Este tema se incluye como parte del análisis espectral de señales discretas, base de métodos de sintetización de voz y otros.

Al utilizar estadísticas muestrales para estudiar un parámetro de la población es muy normal que ambos sean diferentes y la igualdad entre ambos sea mera coincidencia. Estos parámetros igualmente pueden ser observados con relación a muestras de señales discretas y la diferencia entre la estadística muestral y el correspondiente parámetro se puede igualmente llamar como un error de estimación.

Las inferencias estadísticas se hacen por posibilidades o probabilidades, por ejemplo de la media de una muestra o porción de señal, se hacen inferencias sobre la media de la señal completa o tipo de información contenida en ella.

En electrónica, se encuentran aplicaciones muy interesantes donde a veces es necesario que los sistemas utilicen estimaciones para lograr resultados esperados., algunos por ejemplo son las técnicas algorítmicas para el tratamiento digital de señales, o aplicaciones en comunicaciones como el tratamiento de voz e imagen, elementos y subsistemas basados en tratamiento de señal.

En los análisis de redes es común hacer proyecciones sobre cantidad de información generada y recibida, esto se puede analizar por medio de una red virtual, donde se realizan ejemplos ficticios, pero con todas las expectativas físicas del diseño.

Pruebas de Hipótesis


En realidad las pruebas de hipótesis son aplicadas tal vez sin darse uno cuenta; siguiendo los procedimientos de diseño dados en electrónica y en general en cualquier ingeniería, uno debe comenzar por determinar cuales serán las respuestas necesarias dadas por las entradas del sistema. Muchas veces es necesario tener una cantidad suficiente de datos de entrada para resolver un problema, pero a veces estas no se tienen, entonces se debe aseverar respuestas dadas por hipótesis planteadas con anterioridad.

Existen métodos ya específicos, como el científico que se compone de partes como: Reconocimiento de hechos, descubrimiento del problema, formulación del problema...después es necesario construir un modelo teórico donde seleccionamos factores (ya sean inventados o no), o hipótesis centrales y principales, que deben ser estructuradas matemáticamente. Aquí entra a hacer parte del método las pruebas de hipótesis, y es ramificado en cuatro partes:

- Diseño de la prueba.
- Ejecución de la prueba.
- Elaboración de los datos.
- Inferencia de la conclusión.

Claro que cada parte es un conjunto de hechos de diseño de observaciones, mediciones, recolección de datos, experimentos, además de tener que realizar unas clasificaciones, evaluaciones para poder llegar a interpretar los datos elaborados en base a los modelos teóricos....etc.

Una de las ayudas más efectivas es la utilización de gráficas que comparan entre otras la media, así detectando más fácilmente fallas en las suposiciones dadas, ya sea por tamaño de muestras o para potencias buenas.

Que tal una fabrica de circuitos integrados sin pruebas de hipótesis....cuantos podrían estar dañados por defectos de fabrica?
[1] Equipo que interactua con el medio.
[2] JC Bermeo S. Ing. Civil